Quali fioretti, dal notturno gelo
chinati e chiusi, poi che'lsol li'mbianca
si drizzan tutti aperti in loro stelo,
tal mi fec'io di mia virtude stanca, ...
Dante
La teoria dei giochi è la scienza matematica che analizza situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni competitive e cooperative tramite modelli, ovvero è uno studio delle decisioni individuali in situazioni in cui vi sono interazioni tra due o più soggetti, tali per cui le decisioni di un soggetto possono influire sui risultati conseguibili da parte di un rivale secondo un meccanismo di retroazione, e sono finalizzate al massimo guadagno del soggetto. La nascita della moderna teoria dei giochi può essere fatta coincidere con l'uscita del libro "Theory of Games and Economic Behavior" di John von Neumann e Oskar Morgenstern nel 1944 anche se altri autori avevano già scritto sulla teoria dei giochi. I due erano, nell'ordine, un matematico e un economista. Si può descrivere informalmente l'idea di questi due studiosi come il tentativo di descrivere matematicamente il comportamento umano in quei casi in cui l'interazione fra uomini comporta l'acquisire, o lo spartirsi, di qualche tipo di risorsa. Il più famoso studioso ad essersi occupato successivamente della Teoria dei giochi, in particolare per quel che concerne i "giochi non cooperativi", è il matematico John Forbes Nash jr., al quale è dedicato il film di Ron Howard "A Beautiful Mind". Nel modello della teoria dei giochi la premessa indispensabile è che tutti devono essere a conoscenza delle regole del gioco, ed essere consapevoli delle conseguenze di ogni singola mossa. La mossa, o l'insieme delle mosse, che un individuo intende fare viene chiamata "strategia". In dipendenza dalle strategie adottate da tutti i giocatori, ognuno riceve un "pay-off" (che in inglese significa compenso, vincita, pagamento, ma anche esito) secondo un'adeguata unità di misura, che può essere positivo, negativo o nullo. Un gioco si dice "a somma costante" se per ogni vincita di un giocatore vi è una corrispondente perdita per altri. In particolare, un gioco "a somma zero" fra due giocatori rappresenta la situazione in cui il pagamento viene corrisposto da un giocatore all'altro. La strategia da seguire è strettamente determinata, se ne esiste una che è soddisfacente per tutti i giocatori; altrimenti è necessario calcolare e rendere massima la speranza matematica del giocatore, che si ottiene sommando tutti i possibili compensi (sia positivi sia negativi) pesati per le rispettive probabilità. In un gioco esistono uno o più contendenti che cercano di vincere il gioco, ovvero, di massimizzare la propria vincita. Esiste inoltre una regola (funzione) che stabilisce quantitativamente qual è la vincita dei contendenti in funzione del loro comportamento, tale funzione si chiama funzione dei pagamenti. Ogni giocatore può prendere un numero finito (o infinito nel caso più astratto possibile) di decisioni o strategie. Ogni strategia è caratterizzata da una conseguenza per il giocatore che l'ha presa, la conseguenza della strategia può essere un premio o una penalità. Il risultato del gioco è completamente determinato dalla sequenza delle strategie e dalle strategie prese dagli altri giocatori. Ma come caratterizzare il risultato del gioco per ogni giocatore? Se si misura la conseguenza di una strategia in "termini monetari", ogni strategia può essere messa in corrispondenza con un numero: un numero negativo indicherà un pagamento all'avversario, ossia una penalità; mentre un numero positivo indicherà una vincita, ossia la riscossione di un premio. Il guadagno o la perdita spettante al generico giocatore k-esimo associata alla sua strategia e alle strategie prese in un dato istante da tutti i restanti giocatori è espresso dal valore monetario indicato dalla funzione dei pagamenti. Le decisioni prese da un giocatore naturalmente si scontrano o sono in accordo con le decisioni prese dagli altri giocatori; da simili situazioni nascono i giochi cooperativi o non-cooperativi. Almeno in linea di principio, si può descrivere ogni gioco mediante la forma estesa. Ovvero lo si può rappresentare con un grafo ad albero rappresentando ogni possibile combinazione di giocate dei contendenti sino agli stati finali dove vengono ripartite le vincite. Un'altra possibile rappresentazione è quella matriciale.
In questo articolo accenno al "dilemma del prigioniero", un classico gioco che aiuta a comprendere, all'interno di un gruppo, l'importanza di un certo comportamento piuttosto che un altro.
Due persone, Carlo e Paolo, in un imprecisato Paese sono state pretestuosamente arrestate e messe in separate celle di isolamento. Un inquisitore fa ad ognuno di loro la seguente proposta:
«Se tu confessi e il tuo complice tace, ti libererò da ogni accusa ma userò la tua testimonianza per far condannare l'altro a cinque anni. Se tu taci e il tuo complice confessa, avverrà il contrario: tu sarai condannato a 5 anni e lui liberato».
«Se confessate tutti e due, sarete entrambi colpevoli ma io terrò conto del fatto che avete collaborato e vi dimezzerò la pena: entrambi 3 anni».
«Se tacete tutti e due non posso considerarvi colpevoli del reato ascrittovi, ma vi condannerò ugualmente: 1 anno per entrambi».
La matrice seguente riassume la situazione che devono affrontare i due attori.
---------------------------Carlo non accusa --------------Carlo tradisce
Paolo non accusa-----Entrambi 1 anno ---------Paolo 5 a., Carlo libero
Paolo tradisce --------Carlo 5 a., Paolo libero-----Entrambi 3 anni
Pensiero di Carlo (o di Paolo): «Io per carattere sarei una colomba, se non ci accusiamo facciamo 1 anno di carcere; però, se Paolo mi tradisce sconterò 5 anni e se ci tradiamo entrambi facciamo 3 anni... il male minore... lo accuso!»
Questo è il gioco proposto da Merrill Flood e Melvin Dresher nel 1950, come parte delle ricerche sulla teoria dei giochi promosse dalla Rand Corporation per le possibili applicazioni ad una strategia nucleare globale.
Il "dilemma" affrontato dai prigionieri è che, qualsiasi cosa faccia l'altro, ad ognuno dei due conviene più confessare che rimanere zitto. Il problema è che se confessano tutti e due la conseguenza è certamente peggiore che se entrambi fossero rimasti zitti.
La scelta migliore, per entrambi, sarebbe quella di non confessare, scagionandosi reciprocamente. Per far questo dovrebbero accordarsi, sebbene una condizione del dilemma imponga che i giocatori non possano assolutamente comunicare tra loro, ma anche se potessero farlo, nessuno dei due potrebbe essere certo delle reali intenzioni dell'altro. La scelta più ragionevole, per ognuno, è pertanto quella di confessare, perché porta un vantaggio indipendentemente dalla scelta dell'altro. Proprio per questo motivo i complici finiscono per confessare entrambi, subendo una condanna più dura di quella che verrebbe loro inflitta se non confessassero.
Una considerazione oggettiva è che il dilemma illustra un conflitto tra razionalità individuale e di gruppo: se i membri di un gruppo perseguono razionalmente il proprio interesse, possono ottenere un risultato inferiore ai membri di un altro gruppo che agiscano in modo contrario al proprio individuale vantaggio razionale.
Il premio Nobel 2012 all'Economia è stato assegnato a pari merito agli statunitensi Alvin Roth, che insegna a Cambridge, e Lloyd Shapley, dell'Università della California. I due economisti sono stati premiati per i loro contributi "alla teoria della stabile allocazione" e per le analisi sulla configurazione dei mercati. Roth è conosciuto per i suoi contributi nel campo della teoria dei giochi e nell'economia sperimentale. Shapley è un matematico ed economista, considerato l'esponente di punta della teoria dei giochi.
Per i chirurghi del Johns Hopkins Hospital di Baltimora, l’8 aprile 2008 fu una giornata memorabile. Furono effettuate dodici operazioni coordinate, con il coinvolgimento di 100 persone. Si trattava di sei delicati trapianti: sei persone avevano bisogno di un nuovo rene, tutte avevano trovato un donatore, che era risultato però incompatibile. Solo un complesso scambio, contemporaneo per aggirare i divieti della legge americana, permise a ciascuno di avere una nuova chance di vita. Ma non erano stati i medici a organizzare quella giornata. Ci aveva pensato un economista, Alvin Roth, che aveva implementato Nepke, il New England Program for Kidney Exchange, un sistema per scambiare i reni, in genere tra due, spesso tre coppie di riceventi-donatori. Nepke è una specie di "mercato non monetario, una brillante applicazione di teorie e ricerche empiriche in campo economico utili, in questo caso, per salvare vite umane. Tutto nasce dalla pratica per finire alla pratica - ma con l'aiuto della teoria. Si comincia negli anni 50 quando gli ospedali americani (e britannici) si rendono conto che il loro sistema di attirare studenti di medicina per gli stage era diventato inefficace: la concorrenza, per esempio, aveva spinto a scegliere i candidati molto tempo prima della laurea, con il rischio di fare parecchi sbagli. Procedendo per prove ed errori, è stato adottato da allora un organismo centralizzato (tale da simulare però un mercato non monetario simile a quello adottato per le donazioni di reni) per permettere un miglior "accoppiamento" tra studenti, divisioni e ospedali.
Roth dimostrò nel 1984 che il sistema era efficiente. Per dimostrarlo - e per capire perché in alcuni casi aveva invece fallito - utilizzò ricerche di teoria dei giochi, apparentemente astratte, elaborate dal '62 in poi da David Gale, morto nel 2008, e da Lloyd Shapley. I due matematici ed economisti avevano studiato teoricamente un sistema per consentire a uomini e donne che volevano sposarsi di accoppiarsi e nel miglior modo possibile. Senza cioè che nessuno avesse rimpianti, ossia fosse costretto dal meccanismo a rinunciare a una soluzione giudicata migliore.
16 ottobre 2012
Eugenio Caruso
